Калькулятор векторной проекции

Добро пожаловать в Калькулятор векторной проекции — мощный инструмент линейной алгебры, который вычисляет проекцию одного вектора на другой с пошаговым разбором формул, интерактивной геометрической визуализацией и ортогональным разложением. Изучаете ли вы линейную алгебру, решаете задачи по физике или анализируете данные в машинном обучении, этот калькулятор сделает векторные проекции интуитивно понятными.

Что такое векторная проекция?

Векторная проекция — это фундаментальная операция в линейной алгебре, которая определяет, какая часть одного вектора направлена вдоль другого. Для векторов a и b проекция a на b создает новый вектор, который лежит на прямой вектора b и представляет собой «тень» вектора a, отбрасываемую на эту прямую.

Существует два взаимосвязанных понятия:

• Скалярная проекция (компонента): число, представляющее знаковую длину проекции вдоль b.
• Векторная проекция: вектор, лежащий вдоль b, величина которого равна скалярной проекции.

Формула векторной проекции

Формула скалярной проекции

Ортогональное разложение

Любой вектор a может быть разложен на две перпендикулярные составляющие относительно b:

Где \(\vec{a}_{\perp} = \vec{a} - \text{proj}_{\vec{b}} \vec{a}\) — это составляющая вектора a, перпендикулярная вектору b (также называемая векторным отклонением).

Как пользоваться этим калькулятором

1. Выберите размерность: Выберите 2D или 3D векторы с помощью кнопок переключения.
2. Введите векторы: Введите компоненты вектора a (проецируемый вектор) и вектора b (направление проекции).
3. Рассчитать: Нажмите «Рассчитать проекцию», чтобы увидеть полные результаты, включая векторную проекцию, скалярную проекцию, ортогональную составляющую, угол между векторами и пошаговое решение.
4. Изучите визуализацию: Ознакомьтесь с интерактивной диаграммой, показывающей все векторы и геометрическую связь между ними.

Понимание результатов

• Векторная проекция: Результирующий вектор, лежащий вдоль b.
• Скалярная проекция: Знаковая длина проекции (положительная, если угол < 90°, отрицательная, если угол > 90°).
• Ортогональная составляющая: Часть вектора a, перпендикулярная вектору b.
• Угол между векторами: Угол θ в градусах и радианах.
• Скаляр проекции (a·b/b·b): Коэффициент, на который умножается b для получения вектора проекции.

Применение векторной проекции

Особые случаи

• Параллельные векторы (θ = 0°): Проекция a на b равна самому вектору a (масштабированному в соответствии с соотношением величин).
• Антипараллельные векторы (θ = 180°): Проекция направлена в сторону, противоположную вектору b.
• Перпендикулярные векторы (θ = 90°): Проекция является нулевым вектором — у a нет составляющей вдоль b.
• Скалярная проекция = 0: Векторы ортогональны.
• Отрицательная скалярная проекция: Угол между векторами превышает 90°.

Часто задаваемые вопросы

Что такое векторная проекция?

Векторная проекция a на b — это составляющая a, которая лежит в направлении b. Она вычисляется как proj_b(a) = (a·b / b·b) × b. Результатом является вектор, указывающий в том же (или противоположном) направлении, что и b, и показывающий, какая часть a направлена вдоль b.

В чем разница между скалярной и векторной проекцией?

Скалярная проекция дает число, представляющее знаковую длину проекции вдоль b: comp_b(a) = a·b / |b|. Векторная проекция дает вектор, имеющий и величину, и направление: proj_b(a) = (a·b / b·b) × b. Скалярная проекция — это величина (со знаком) векторной проекции.

Что такое ортогональная составляющая (векторное отклонение)?

Ортогональная составляющая (также называемая векторным отклонением или режекцией) — это часть вектора a, перпендикулярная вектору b. Она вычисляется как a_⊥ = a − proj_b(a). Вместе проекция и отклонение разлагают a на две перпендикулярные компоненты, сумма которых равна исходному вектору.

Может ли скалярная проекция быть отрицательной?

Да. Отрицательная скалярная проекция означает, что угол между векторами больше 90°, то есть вектор a имеет составляющую, направленную противоположно b. Абсолютное значение скалярной проекции по-прежнему представляет собой длину проецируемой тени.

Почему векторная проекция важна в машинном обучении?

Она лежит в основе таких методов, как метод главных компонент (PCA), который проецирует многомерные данные на направления максимальной дисперсии. Она также используется в регрессии, рекомендательных системах и снижении размерности, что делает ее одной из самых востребованных операций в анализе данных.

Дополнительные ресурсы

• Векторная проекция — Википедия
• Скалярное произведение — Википедия