Построитель полярных уравнений

Построитель полярных уравнений строит график любого выражения вида \( r = f(\theta) \) прямо в вашем браузере. Используйте его, чтобы нарисовать классическую розу \( r = \sin(3\theta) \), сердцевидную кардиоиду \( r = 1 + \cos\theta \), спирали Архимеда и Ферма, улитки Паскаля с внутренней петлей, лемнискаты и даже знаменитую кривую «бабочка». Введите собственное выражение с полной поддержкой sin, cos, tan, exp, log, sqrt и констант \( \pi \) и \( e \) или выберите один из девяти пресетов для мгновенного построения. Накладывайте до трех уравнений на один холст, наблюдайте, как интерактивный предпросмотр перерисовывается по мере ввода, а затем экспортируйте график в четком формате SVG или PNG.

Как работают полярные координаты

Галерея знаменитых полярных кривых

Чем отличается этот построитель полярных уравнений

Синтаксис выражений — краткое руководство

Подсчет лепестков розы

Для кривой розы \( r = \sin(k\theta) \) (или \( r = \cos(k\theta) \)), где \( k \) — целое число, количество лепестков подчиняется красивому правилу:

• Если \( k \) нечетное: роза имеет ровно \( k \) лепестков.
• Если \( k \) четное: роза имеет \( 2k \) лепестков.

Таким образом, \( \sin(3\theta) \) дает 3 лепестка, \( \sin(4\theta) \) дает 8 лепестков, а \( \sin(7\theta) \) дает 7. Причина здесь тонкая: когда k нечетное, лепестки, прорисовываемые для отрицательных значений r (которые отражаются через начало координат), попадают точно на те же позиции, что и лепестки для положительных r. Когда k четное, лепестки для отрицательных r заполняют промежутки между лепестками для положительных r, удваивая их количество. Сравните \( \sin(2\theta) \) (4 лепестка) с \( \sin(3\theta) \) (3 лепестка), чтобы увидеть разницу в симметрии вживую.

От кардиоиды до улитки Паскаля: однопараметрическое семейство

Общее уравнение \( r = a + b\cos\theta \) описывает семейство кривых, управляемых отношением \( b/a \):

• \( b/a = 0 \): окружность радиуса \( a \) — без асимметрии.
• \( 0 < b/a < 1 \): улитка Паскаля с вмятиной — слегка сплющенный овал.
• \( b/a = 1 \): cardioid — идеальная форма сердца с одной точкой возврата.
• \( 1 < b/a < 2 \): улитка Паскаля с более глубоким углублением.
• \( b/a \geq 2 \): улитка Паскаля с внутренней петлей — кривая пересекает саму себя.

Попробуйте построить \( r = 1 + b\cos\theta \) с b = 0.5, 1.0, 1.5, 2.0 в трех полях наложения, чтобы понаблюдать, как сердце превращается в улитку с петлей.

Применение в реальном мире

• Математические классы: анимированная прорисовка и интерактивный предпросмотр делают полярные уравнения осязаемыми — учащиеся видят, как вращающийся радиус вычерчивает кривую.
• Физические лаборатории: диаграммы направленности антенн, филлотаксис растений, планетарные орбиты и траектории маятников — все это описывается в полярных координатах.
• Инженерия: профили кулачков, зубья шестерен и распределение напряжений в балках проектируются в полярной форме. Экспортируйте в SVG для лазерной резки или ЧПУ.
• Дизайн и орнаменты: розы, лемнискаты и кривые «бабочки» позволяют создавать потрясающие логотипы, мандалы и повторяющиеся узоры. Экспортируйте в векторный формат для дальнейшего редактирования.
• Генеративное искусство: наложите три кривые розы с разными значениями k в неоновой палитре для мгновенного создания геометрических плакатов.
• Астрономия: конические сечения в полярной форме (\( r = p / (1 - e\cos\theta) \) для эллипса/параболы/гиперболы) описывают орбиты планет — попробуйте это со значениями эксцентриситета от 0.1 до 0.9.

Советы для красивых графиков

• Выбирайте правильный диапазон θ. Розы и кардиоиды замыкаются от 0 до 2π. Улиткам Паскаля с внутренней петлей может потребоваться от 0 до 4π. Спирали Архимеда выглядят лучше всего при от 0 до 8π или более. Используйте выпадающий список — он сам подберет кратные значения π.
• Используйте наложение для контраста «до/после». Постройте \( \sin(2\theta) \) и \( \sin(3\theta) \) рядом, чтобы увидеть правило четного и нечетного количества лепестков. Постройте \( 1 + \cos\theta \) и \( 1 + 1.5\cos\theta \), чтобы увидеть, как кардиоида превращается в улитку Паскаля с вмятиной.
• Повышайте разрешение для спиралей. Варианта по умолчанию «Среднее» (1800 точек) вполне достаточно для роз. Для длинных спиралей Архимеда или кривых «бабочек» переключитесь на «Высокое» или «Ультра» — дополнительные точки раскроют мелкие детали на краях спирали.
• Лемнискатам нужны обе ветви. Поскольку уравнение \( r^2 = 4\cos 2\theta \) имеет два квадратных корня, постройте \( \sqrt{4\cos(2\theta)} \) в уравнении 1 и \( -\sqrt{4\cos(2\theta)} \) в уравнении 2, чтобы получить обе петли.
• Скрывайте сетку для художественного портфолио. Переключите сетку в режим «Нет» и выберите неоновую палитру на графитовом фоне — результат будет напоминать принт в стиле генеративного искусства.

Часто задаваемые вопросы