Калькулятор стационарного распределения цепи Маркова

Добро пожаловать в калькулятор стационарного распределения цепи Маркова — мощный математический инструмент для вычисления долгосрочного установившегося распределения любой конечной цепи Маркова. Введите матрицу переходов и мгновенно получите стационарные вероятности, интерактивную диаграмму переходов состояний, визуализацию сходимости и подробное пошаговое решение. Идеально подходит для студентов, исследователей и специалистов, работающих со стохастическими процессами.

Что такое стационарное распределение?

Стационарное распределение (также называемое установившимся распределением) цепи Маркова — это вектор вероятностей \(\pi\) такой, что:

Это означает, что если система начинает работу с распределения \(\pi\), она остается в состоянии \(\pi\) после любого количества переходов. Интуитивно \(\pi_i\) представляет собой долгосрочную долю времени, которую система проводит в состоянии \(i\).

Основные концепции

Как найти стационарное распределение

Стационарный вектор \(\pi\) можно найти, решив систему линейных уравнений, выведенную из \(\pi P = \pi\):

1. Перепишите уравнение: \(\pi P = \pi\) превращается в \(\pi(P - I) = 0\) или, что эквивалентно, \((P^T - I)\pi^T = 0\).
2. Добавьте условие нормализации: Замените одно из избыточных уравнений уравнением \(\pi_1 + \pi_2 + \cdots + \pi_n = 1\).
3. Решите систему: Используйте метод исключения Гаусса или матричные методы для нахождения \(\pi\).

Для эргодических цепей многократное умножение сходится к уникальному стационарному состоянию независимо от начального распределения.

Как пользоваться этим калькулятором

1. Введите матрицу переходов: Введите матрицу, где каждая строка начинается с новой строки. Значения можно разделять запятыми или пробелами. Сумма каждой строки должна быть равна 1.
2. Добавьте метки состояний (необязательно): Укажите описательные названия для ваших состояний (например, Солнечно, Дождливо) через запятую.
3. Установите точность: Выберите количество знаков после запятой (2–15) для результатов.
4. Рассчитайте: Нажмите «Рассчитать стационарное распределение», чтобы увидеть полный анализ, включая стационарное распределение, график сходимости, диаграмму состояний и пошаговое решение.

Интерпретация результатов

Стационарный вектор

Основным результатом является вектор \(\pi = (\pi_1, \pi_2, \ldots, \pi_n)\), где каждое \(\pi_i\) представляет собой долгосрочную вероятность нахождения в состоянии \(i\). Состояние с наибольшей вероятностью является доминирующим состоянием.

График сходимости

Показывает, как распределение вероятностей эволюционирует от равномерного начального состояния через последовательные умножения на P. Более быстрая сходимость указывает на более интенсивно перемешивающуюся цепь.

Диаграмма переходов состояний

Интерактивное визуальное представление, где:

• Размер узла отражает стационарную вероятность
• Толщина ребра представляет вероятность перехода
• Изогнутые стрелки показывают направление переходов
• Петли указывают вероятность того, что система останется в том же состоянии

Практическое применение

Когда существует уникальное стационарное распределение?

Цепь Маркова имеет уникальное стационарное распределение, когда она эргодическая (одновременно неразложимая и апериодическая):

• Неразложимая: Каждое состояние достижимо из любого другого состояния (нет несвязанных компонентов).
• Апериодическая: НОД всех длин циклов через любое состояние равен 1 (нет фиксированной периодичности).

Если цепь разложима или периодична, у нее все равно может быть стационарное распределение, но оно может не быть уникальным, и сходимость не гарантируется для всех начальных распределений.

Часто задаваемые вопросы

Что такое стационарное распределение цепи Маркова?

Стационарное (или установившееся) распределение — это вектор вероятностей π такой, что πP = π, где P — матрица переходов. Он представляет собой долгосрочную долю времени, которую система проводит в каждом состоянии. Для неразложимой и апериодической цепи Маркова оно уникально.

Как рассчитать стационарные вероятности?

Чтобы найти стационарный вектор π, решите систему уравнений πP = π при условии, что сумма вероятностей равна 1 (Σπᵢ = 1). Это эквивалентно решению (Pᵀ - I)π = 0. Можно также использовать метод степенных итераций.

Когда цепь Маркова имеет уникальное стационарное распределение?

Когда она неразложима и апериодична. Эти свойства делают цепь эргодической, что гарантирует сходимость к единственному стационарному распределению.

Что такое среднее время возврата в цепи Маркова?

Это ожидаемое количество шагов для возвращения в исходное состояние i. В эргодической цепи оно равно 1/πᵢ. Состояния с высокой стационарной вероятностью имеют меньшее среднее время возврата.

В чем разница между матрицей переходов и стационарным вектором?

Матрица P описывает динамику переходов за один шаг, а стационарный вектор π описывает долгосрочное поведение и равновесие системы.

Дополнительные ресурсы

• Цепь Маркова — Википедия
• Stationary Distribution — Википедия (англ.)
• Стохастическая матрица — Википедия