Работает ли эта формула для 2D (расстояние от точки до прямой)?

Да, формула d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²) является 2D-аналогом для расстояния от точки (x₀, y₀) до прямой Ax + By + C = 0. Формула для 3D (точка-плоскость) является прямым обобщением этой концепции.

Калькулятор расстояния от точки до плоскости

Q: Что означает ориентированное расстояние от точки до плоскости?

Ориентированное расстояние указывает, с какой стороны плоскости находится точка. Положительное значение означает, что точка находится с той же стороны, что и вектор нормали плоскости, а отрицательное — с противоположной. Если ориентированное расстояние равно нулю, точка лежит точно на плоскости.

Q: Как определить уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0?

Уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0 задается четырьмя коэффициентами: A, B, C (компоненты вектора нормали к плоскости) и D (константа, определяющая положение плоскости). Любые три точки, не лежащие на одной прямой, могут определить плоскость, или же это можно сделать через вектор нормали и точку на плоскости.

Рассчитайте кратчайшее перпендикулярное расстояние от точки (x₀, y₀, z₀) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0. Получите пошаговое решение, координаты основания перпендикуляра, интерактивную 3D-визуализацию и геометрический анализ.

Калькулятор расстояния от точки до плоскости

Попробуйте пример:

Базовый (1,2,3) → 2x−y+2z−5=0 Начало координат → плоскость z=5 (3,−1,4) → x+y+z=6 (5,5,5) → x+2y−2z+3=0

P Координаты точки

x₀

y₀

z₀

π Уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0

Ax + By + Cz + D = 0

Точность (знаков):

Embed Калькулятор расстояния от точки до плоскости Widget

О Калькулятор расстояния от точки до плоскости

Добро пожаловать в Калькулятор расстояния от точки до плоскости — интерактивный инструмент по 3D-геометрии, который вычисляет кратчайшее перпендикулярное расстояние от точки до плоскости, предоставляя пошаговые формулы, координаты основания перпендикуляра, интерактивную 3D-визуализацию и подробный геометрический анализ. Будь вы студентом, инженером или любителем математики, этот инструмент сделает вычисление расстояния в 3D мгновенным и наглядным.

Формула расстояния от точки до плоскости

Перпендикулярное (кратчайшее) расстояние от точки $P(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ рассчитывается так:

Расстояние от точки до плоскости

$$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$

Где:

$A, B, C$ — компоненты вектора нормали к плоскости
$D$ — свободный член в уравнении плоскости
$(x_0, y_0, z_0)$ — координаты точки
Знаменатель $\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}$ — это модуль вектора нормали

Понимание формулы

Почему эта формула работает?

Формула расстояния получается путем проецирования вектора, идущего от любой точки на плоскости к точке P, на единичный вектор нормали плоскости. Если Q — любая точка на плоскости, то перпендикулярное расстояние равно:

$$d = |(\vec{QP}) \cdot \hat{n}| = \frac{|\vec{QP} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$$

Поскольку $\vec{n} = (A, B, C)$, а любая точка Q на плоскости удовлетворяет условию $Ax_Q + By_Q + Cz_Q + D = 0$, скалярное произведение упрощается до $Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D$.

Ориентированное расстояние

Если убрать модуль, получится ориентированное расстояние:

Ориентированное расстояние

$$d_{\text{signed}} = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$

Положительное: точка находится с той же стороны, что и вектор нормали
Отрицательное: точка находится с противоположной стороны
Ноль: точка лежит точно на плоскости

Основание перпендикуляра

Основание перпендикуляра — это точка на плоскости, ближайшая к данной точке. Она находится путем смещения от P вдоль направления, противоположного нормали, на расстояние, равное ориентированному расстоянию:

Основание перпендикуляра

$$F = P - \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{A^2 + B^2 + C^2} \cdot \vec{n}$$

Здесь $\vec{n} = (A, B, C)$ — вектор нормали. Параметр $t = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{A^2 + B^2 + C^2}$ представляет собой расстояние (в единицах длины нормали), которое нужно пройти от P, чтобы достичь плоскости.

Как пользоваться этим калькулятором

Введите координаты точки: Введите x₀, y₀, z₀ для точки в 3D-пространстве. Поддерживаются отрицательные и десятичные числа.
Введите уравнение плоскости: Введите A, B, C, D для плоскости Ax + By + Cz + D = 0. Хотя бы один из коэффициентов A, B, C должен быть отличен от нуля.
Установите точность: Выберите количество десятичных знаков для результатов.
Нажмите «Рассчитать»: Вы увидите расстояние, основание перпендикуляра, единичную нормаль, пошаговое решение и интерактивную 3D-визуализацию.
Взаимодействуйте с 3D-видом: Вращайте визуализацию мышкой, чтобы лучше изучить геометрическое расположение объектов.

Связанные формулы расстояния

Формула	Описание	Измерение
Точка — Плоскость	$d = \frac{\|Ax_0+By_0+Cz_0+D\|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$	3D
Точка — Прямая (2D)	$d = \frac{\|Ax_0+By_0+C\|}{\sqrt{A^2+B^2}}$	2D
Точка — Точка	$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$	3D
Параллельные плоскости	$d = \frac{\|D_1 - D_2\|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$	3D

Области применения

Компьютерная графика и разработка игр

Расстояние от точки до плоскости является фундаментальным при определении столкновений (коллизий), позволяя понять, пересекаются ли объекты с поверхностями. Оно также используется для отсечения по пирамиде видимости (frustum culling) и в алгоритмах построения теней (shadow mapping).

Инженерия и CAD

Инженеры используют эти расчеты для анализа допусков, измерения отклонений поверхностей и контроля качества на производстве. Станки с ЧПУ полагаются на эти данные при расчете траектории движения инструмента.

Физика и навигация

В физике формула помогает рассчитать расстояние от точечного заряда до проводящей плоскости или высоту самолета над наклонной поверхностью рельефа. Системы GPS используют похожие вычисления для позиционирования относительно опорных плоскостей.

Машинное обучение и наука о данных

В методе опорных векторов (SVM) зазор между классами вычисляется как расстояние от точек данных до разделяющей гиперплоскости. Эта концепция естественным образом расширяется из 3D в пространства более высоких размерностей.

Часто задаваемые вопросы

Какова формула расстояния от точки до плоскости?

Перпендикулярное расстояние от точки P(x₀, y₀, z₀) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 равно d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²). Это дает кратчайшее расстояние, которое всегда перпендикулярно плоскости.

Что такое основание перпендикуляра от точки к плоскости?

Основание перпендикуляра — это точка на плоскости, ближайшая к данной точке. Она находится путем проецирования точки на плоскость вдоль вектора нормали: F = P − t·n, где t = (Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D)/(A² + B² + C²) и n = (A, B, C).

Что означает ориентированное расстояние от точки до плоскости?

Ориентированное расстояние указывает сторону расположения точки. Положительное значение — точка со стороны вектора нормали, отрицательное — с обратной стороны, ноль — точка на плоскости. Это полезно для классификации полупространств.

Как определить уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0?

Коэффициенты A, B, C образуют вектор нормали, а D определяет положение плоскости. Если известна точка Q на плоскости и нормаль (A, B, C), то D = −(Ax_Q + By_Q + Cz_Q). Также уравнение можно вывести по трем точкам через векторное произведение.

Работает ли эта формула для 2D?

Да! 2D-аналог для расстояния от точки (x₀, y₀) до прямой Ax + By + C = 0 выглядит как d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²). Формула 3D является прямым развитием этой идеи.

Дополнительные ресурсы

Ссылайтесь на этот контент, страницу или инструмент так:

"Калькулятор расстояния от точки до плоскости" на сайте https://ru.miniWebtool.com// от MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

командой miniwebtool. Обновлено: 18 февраля 2026 г.

Вы также можете попробовать наш AI Решатель Математических Задач GPT, чтобы решить ваши математические проблемы с помощью вопросов и ответов на естественном языке.

Калькулятор расстояния от точки до плоскости

Ваш блокировщик рекламы мешает показывать объявления

О Калькулятор расстояния от точки до плоскости

Формула расстояния от точки до плоскости

Понимание формулы

Почему эта формула работает?

Ориентированное расстояние

Основание перпендикуляра

Как пользоваться этим калькулятором

Связанные формулы расстояния

Области применения

Компьютерная графика и разработка игр

Инженерия и CAD

Физика и навигация

Машинное обучение и наука о данных

Часто задаваемые вопросы

Какова формула расстояния от точки до плоскости?

Что такое основание перпендикуляра от точки к плоскости?

Что означает ориентированное расстояние от точки до плоскости?

Как определить уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0?

Работает ли эта формула для 2D?

Дополнительные ресурсы

Избранные инструменты:

Формула	Описание	Измерение
Точка — Плоскость	\(d = \frac{\|Ax_0+By_0+Cz_0+D\|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\)	3D
Точка — Прямая (2D)	\(d = \frac{\|Ax_0+By_0+C\|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)	2D
Точка — Точка	\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\)	3D
Параллельные плоскости	\(d = \frac{\|D_1 - D_2\|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\)	3D