Калькулятор падения сквозь Землю

🌍 Внутреннее строение Земли

Земля — это не однородный шар; она имеет отчетливые слои с очень разной плотностью, что глубоко влияет на расчет гравитационного поезда.

📐 Физика гравитационного поезда

Гравитационный поезд — это классический мысленный эксперимент в физике. Представьте, что вы просверлили безтревожный вакуумный туннель прямо сквозь Землю и уронили в него объект. Что произойдет?

Модель однородной плотности: Внутри однородной сферы только масса, находящаяся ближе к центру, чем вы, вносит вклад в гравитацию (теорема о сферической оболочке). Это дает линейный профиль гравитации:

где \(g_0 = 9{,}81\) м/с² — гравитация на поверхности, \(r\) — расстояние от центра, а \(R = 6371\) км — радиус Земли.

Это создает гармоническое колебание с угловой частотой:

Время в пути в одну сторону составляет половину периода колебаний:

Модель переменной плотности PREM: У реальной Земли плотное железо-никелевое ядро (13 г/см³), окруженное более легкой каменистой мантией (3–5 г/см³). Это означает, что гравитация на самом деле увеличивается по мере спуска через мантию (достигая пика ~10,68 м/с² на границе ядра и мантии на глубине 2891 км), а затем уменьшается через ядро. Результат: более сильное начальное ускорение и меньшее время в пути — около 38 минут.

💨 Максимальная скорость в центре

В центре Земли все гравитационное ускорение преобразуется в кинетическую энергию. Максимальная скорость составляет:

Это примерно 23 Маха — в 23 раза больше скорости звука! Она также в точности равна орбитальной скорости на поверхности Земли, что не случайно: гравитационный поезд математически эквивалентен вырожденной (сплющенной) орбите.

📐 Хордовые туннели: удивительный кратчайший путь

Хордовый туннель соединяет две точки на поверхности Земли, не проходя через центр. Для хорды, стягивающей угол \(\theta\) у центра:

• Длина туннеля: \(L = 2R\sin(\theta/2)\)
• Максимальная глубина: \(d = R(1 - \cos(\theta/2))\)
• Максимальная скорость: \(v_{max} = \omega R\sin(\theta/2)\) (ниже, чем в диаметральном)
• Время в пути: Все равно \(\pi\sqrt{R/g_0} \approx 42\) минуты!

Одинаковое время в пути для всех хорд является прямым следствием свойства изохронности простого гармонического движения — того же свойства, которое делает период маятника независимым от амплитуды (при малых колебаниях).

🛠 Почему мы не можем построить это на самом деле?

Хотя гравитационный поезд — это прекрасная теоретическая конструкция, несколько практических препятствий делают его невозможным при нынешних технологиях:

• Температура: Ядро Земли разогрето до 5500°C (так же горячо, как поверхность Солнца). Ни один из известных материалов не выдержит таких температур.
• Давление: В центре давление превышает 360 ГПа (3,6 миллиона атмосфер). Стенки туннеля должны выдерживать колоссальные сдавливающие силы.
• Сопротивление воздуха: Даже если выкачать воздух, поддерживать идеальный вакуум на протяжении 12 742 км непрактично. Любой воздух создаст сопротивление и нагрев.
• Эффект Кориолиса: Вращение Земли будет прижимать падающий объект к стенкам туннеля, что потребует магнитной левитации или изогнутого туннеля.
• Приливные эффекты: Луна и Солнце будут вызывать небольшие отклонения в траектории.

Тем не менее, эта концепция вдохновила на создание реальных предложений по созданию «гравитационных поездов» между близлежащими городами с использованием более коротких и неглубоких туннелей — по сути, высокотехнологичной версии американских горок!

📜 Историческая справка

Концепция гравитационного поезда имеет богатую историю в физике и научной фантастике:

• 1638: Галилео Галилей первым рассмотрел проблему падения сквозь Землю.
• 1687: Исаак Ньютон в своих Началах представил теорему о сферической оболочке, необходимую для решения задачи.
• 1966: Пол Купер опубликовал статью «Гравитационный поезд» в American Journal of Physics, популяризировав результат для хордового туннеля.
• 2015: Александр Клотц опубликовал уточненный расчет с использованием модели PREM, получив время в пути около 38 минут.