Калькулятор кривизны
Рассчитайте кривизну (κ) функции y=f(x) или параметрической кривой в конкретной точке с пошаговым вычислением производных, визуализацией соприкасающейся окружности и радиуса кривизны.
Ваш блокировщик рекламы мешает показывать объявления
MiniWebtool бесплатен благодаря рекламе. Если этот инструмент помог, поддержите нас через Premium (без рекламы + быстрее) или добавьте MiniWebtool.com в исключения и обновите страницу.
- Или перейдите на Premium (без рекламы)
- Разрешите показ рекламы на MiniWebtool.com, затем перезагрузите страницу.
О Калькулятор кривизны
Добро пожаловать в Калькулятор кривизны — мощный инструмент математического анализа, который вычисляет кривизну (κ) кривой в любой заданной точке. Независимо от того, имеете ли вы явную функцию y = f(x) или параметрическую кривую, заданную x(t) и y(t), этот калькулятор предоставляет точные символьные результаты, пошаговые вычисления производных, радиус кривизны и визуализацию, показывающую соприкасающуюся окружность — окружность, которая наилучшим образом приближает кривую в выбранной вами точке.
Что такое кривизна?
Кривизна (κ) измеряет, насколько сильно кривая изгибается в конкретной точке. Интуитивно она количественно определяет скорость изменения направления касательной при движении вдоль кривой. Прямая линия имеет нулевую кривизну везде, в то время как резкий поворот имеет высокую кривизну.
Формулы кривизны
Для явной функции y = f(x)
Где:
- f'(x) = первая производная (наклон касательной линии)
- f''(x) = вторая производная (скорость изменения наклона)
Для параметрической кривой x(t), y(t)
Где штрихи обозначают производные по параметру t.
Радиус кривизны
Радиус кривизны R является величиной, обратной кривизне. Он равен радиусу соприкасающейся окружности — единственной окружности, которая наилучшим образом приближает кривую в данной точке.
Как пользоваться этим калькулятором
- Выберите тип кривой: Выберите "y = f(x)" для явных функций или "x(t), y(t)" для параметрических кривых.
- Введите функцию: Введите выражение, используя стандартную математическую нотацию. Используйте
**для возведения в степень,sin,cos,exp,log,sqrt,piи т. д. - Укажите точку: Введите значение x (или значение t для параметрических), в которой вы хотите вычислить кривизну.
- Нажмите Рассчитать: Посмотрите кривизну κ, радиус кривизны R, пошаговое вычисление и визуализацию соприкасающейся окружности.
Понимание результатов
- Кривизна (κ): Основной результат — насколько сильно кривая изгибается в точке. Всегда неотрицательна.
- Радиус кривизны (R): Радиус соприкасающейся окружности. R = 1/κ. Чем больше R, тем плавнее изгиб.
- Соприкасающаяся окружность: Зеленая пунктирная окружность на графике, которая лучше всего приближает кривую локально. Ее центр лежит на вогнутой стороне кривой.
- Пошаговый расчет: Полное вычисление производных, показывающее, как получено значение κ.
Общие значения кривизны
| Кривая | Кривизна κ | Радиус R |
|---|---|---|
| Прямая линия y = mx + b | 0 | ∞ |
| Окружность радиуса r | 1/r | r |
| y = x² при x = 0 | 2 | 0.5 |
| y = sin(x) при x = 0 | 0 | ∞ |
| y = sin(x) при x = π/2 | 1 | 1 |
| y = eˣ при x = 0 | 1/(2√2) ≈ 0.354 | 2√2 ≈ 2.828 |
Соприкасающаяся окружность
Соприкасающаяся окружность (от латинского osculare — «целовать») в точке P на кривой — это окружность, которая:
- Проходит через точку P
- Имеет то же направление касательной, что и кривая в точке P
- Имеет ту же кривизну, что и кривая в точке P
Это наилучшее круговое приближение к кривой вблизи этой точки. Центр соприкасающейся окружности называется центром кривизны, и он всегда лежит на вогнутой стороне кривой вдоль вектора единичной нормали.
Применение кривизны
Проектирование дорог и железных дорог
Инженеры используют кривизну для проектирования дорог и железнодорожных путей. Максимальная кривизна определяет минимальный радиус поворота, что влияет на безопасную скорость движения. Переходные кривые (клотоиды) обеспечивают плавный переход между прямыми и криволинейными участками за счет линейного изменения кривизны.
Компьютерная графика и САПР
В системах автоматизированного проектирования непрерывность кривизны (непрерывность G2) гарантирует гладкость поверхностей. Гребенки кривизны визуализируют изменение кривизны вдоль кривой, помогая дизайнерам создавать эстетически привлекательные формы автомобилей, самолетов и потребительских товаров.
Оптика и дизайн линз
Кривизна поверхностей линз определяет их фокусное расстояние и оптические свойства. Формула тонкой линзы напрямую связывает кривизну поверхностей с оптической силой линзы.
Физика: Движение частиц
В физике кривизна связана с центростремительным ускорением. Частица, движущаяся по криволинейной траектории со скоростью v, испытывает центростремительное ускорение a = κv², которое перпендикулярно направлению скорости.
Дифференциальная геометрия
Кривизна — фундаментальное понятие дифференциальной геометрии. Для поверхностей гауссова кривизна (произведение главных кривизн) определяет, является ли поверхность локально сферической, седловидной или плоской. Это распространяется и на общую теорию относительности, где кривизна пространства-времени описывает гравитацию.
Руководство по вводу
| Операция | Нотация | Пример |
|---|---|---|
| Степень | ** или ^ | x**3 или x^3 |
| Квадратный корень | sqrt() | sqrt(x) |
| Триг. функции | sin, cos, tan | sin(x), cos(2*t) |
| Обратные триг. | asin, acos, atan | atan(x) |
| Экспонента | exp() | exp(-x**2) |
| Натуральный логарифм | log() или ln() | log(x) |
| Константы | pi, e | pi/4, e**x |
| Умножение | * (или неявное) | 2*x или 2x |
Часто задаваемые вопросы
Что такое кривизна в математическом анализе?
Кривизна (κ) — это мера того, насколько сильно кривая изгибается в данной точке. Прямая линия имеет нулевую кривизну, а окружность радиуса r имеет постоянную кривизну κ = 1/r. Для функции y=f(x) формула выглядит так: κ = |f''(x)| / (1 + (f'(x))²)^(3/2).
Как рассчитать кривизну параметрической кривой?
Для параметрической кривой, заданной x(t) и y(t), формула кривизны: κ = |x'y'' - y'x''| / ((x')² + (y')²)^(3/2). Это требует вычисления первой и второй производных как x(t), так и y(t) по параметру t.
Что такое соприкасающаяся окружность?
Соприкасающаяся окружность в точке на кривой — это окружность, которая наилучшим образом приближает кривую в этой точке. Ее радиус равен радиусу кривизны R = 1/κ, а ее центр лежит на нормали к кривой в этой точке со стороны вогнутости.
Что такое радиус кривизны?
Радиус кривизны R — это величина, обратная кривизне: R = 1/κ. Он представляет собой радиус соприкасающейся окружности. Большой радиус означает плавный изгиб кривой (почти прямая), а малый радиус означает резкий изгиб.
Что означает нулевая кривизна?
Нулевая кривизна в точке означает, что кривая локально представляет собой прямую линию — изгиб отсутствует. Вторая производная f''(x) в этой точке равна нулю (для явных кривых). Радиус кривизны бесконечен, что означает вырождение соприкасающейся окружности в прямую линию.
Может ли кривизна быть отрицательной?
В стандартной формуле скалярной кривизны кривизна κ всегда неотрицательна из-за модуля в числителе. Однако ориентированная кривизна (без модуля) может быть положительной или отрицательной, указывая на направление изгиба (влево или вправо). Данный калькулятор вычисляет неориентированную (неотрицательную) кривизну.
Дополнительные ресурсы
Ссылайтесь на этот контент, страницу или инструмент так:
"Калькулятор кривизны" на сайте https://ru.miniWebtool.com// от MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/
команда miniwebtool. Обновлено: 18 февраля 2026 г.
Вы также можете попробовать наш AI Решатель Математических Задач GPT, чтобы решить ваши математические проблемы с помощью вопросов и ответов на естественном языке.