Векторный калькулятор

Q: Что такое единичный вектор?

Единичный вектор — это вектор с модулем, равным 1, который указывает в том же направлении, что и исходный вектор. Он рассчитывается путем деления каждого компонента на модуль вектора: Â = A/|A|. Единичные векторы полезны для представления направлений без учета величины.

Бесплатный онлайн-калькулятор векторов с пошаговыми решениями. Вычисляйте скалярное произведение, векторное произведение, модуль, единичный вектор, угол между векторами, проекцию и многое другое с интерактивной 3D-визуализацией.

Быстрые примеры

1 Введите векторы

Вектор A

Компоненты разделяются запятыми

Вектор B

Требуется для операций с двумя векторами

2 Выберите операцию

Операция

Точность

Embed Векторный калькулятор Widget

О Векторный калькулятор

Добро пожаловать в наш векторный калькулятор — комплексный инструмент для выполнения операций с векторами с подробными пошаговыми решениями. Будь вы студентом, изучающим линейную алгебру, инженером, работающим с силами и скоростями, или тем, кому необходимо выполнить математические расчеты с векторами, этот калькулятор обеспечит точные результаты с четкими объяснениями.

Что такое вектор?

Вектор — это математический объект, который имеет как величину (модуль), так и направление. Векторы обычно представляются в виде упорядоченных списков чисел, называемых компонентами. Например, 3D-вектор может быть записан как [3, 4, 5], что представляет собой перемещение на 3 единицы по оси x, на 4 единицы по оси y и на 5 единиц по оси z.

Векторы фундаментальны в физике (представление сил, скоростей, ускорений), компьютерной графике (3D-преобразования, освещение), машинном обучении (векторы признаков, эмбеддинги) и многих других областях.

Поддерживаемые операции с векторами

Модуль (Длина)

Модуль вектора, также называемый его длиной или нормой, измеряет длину вектора. Для вектора A = [a, b, c]:

Формула модуля

$$||A|| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$

Единичный вектор

Единичный вектор имеет модуль 1 и направлен в ту же сторону, что и исходный вектор. Он рассчитывается путем деления каждого компонента на модуль:

Формула единичного вектора

$$\hat{A} = \frac{A}{||A||}$$

Скалярное произведение

Скалярное произведение двух векторов дает скаляр (одно число). Оно показывает, насколько один вектор направлен в сторону другого:

Формула скалярного произведения

$$A \cdot B = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = ||A|| \cdot ||B|| \cdot \cos(\theta)$$

Ключевые свойства: если скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны. Положительное значение означает, что они направлены в схожие стороны; отрицательное — в противоположные.

Векторное произведение

Векторное произведение двух 3D-векторов создает новый вектор, перпендикулярный обоим входным векторам. Модуль этого произведения равен площади параллелограмма, образованного векторами:

Формула векторного произведения

$$A \times B = (a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1)$$

Сложение и вычитание векторов

Сложение векторов объединяет векторы путем сложения соответствующих компонентов. Вычитание находит разность:

Сложение/Вычитание

$$A + B = [a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3]$$ $$A - B = [a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3]$$

Угол между векторами

Угол между двумя векторами находится с использованием связи между скалярным произведением и модулями:

Формула угла

$$\theta = \arccos\left(\frac{A \cdot B}{||A|| \cdot ||B||}\right)$$

Проекция вектора

Проекция вектора A на вектор B дает компоненту A в направлении вектора B:

Формула проекции

$$\text{proj}_B A = \frac{A \cdot B}{B \cdot B} \cdot B$$

Умножение на скаляр

Умножение на скаляр умножает каждый компонент вектора на число, изменяя масштаб вектора:

Умножение на скаляр

$$k \cdot A = [k \cdot a_1, k \cdot a_2, k \cdot a_3]$$

Таблица сводки операций

Операция	Требуемые данные	Тип результата	Применение
Модуль	Один вектор	Скаляр	Поиск расстояния, нормализация векторов
Единичный вектор	Один вектор	Вектор	Представление направления, нормализация
Скалярное произведение	Два вектора	Скаляр	Расчет угла, проекция, сходство
Векторное произведение	Два 3D-вектора	Вектор	Поиск перпендикулярных векторов, расчет площади
Сложение	Два вектора	Вектор	Комбинирование сил, смещение
Вычитание	Два вектора	Вектор	Поиск относительного положения, разность
Угол	Два вектора	Скаляр (градусы)	Ориентация, измерение сходства
Проекция	Два вектора	Вектор	Расчет теней, разложение компонентов
Умножение на скаляр	Вектор + скаляр	Вектор	Масштабирование, изменение размера векторов

Как пользоваться этим калькулятором

Введите вектор A: Введите компоненты вашего первого вектора через запятую (например, 3, 4, 0).
Введите вектор B (если требуется): Для операций с двумя векторами введите второй вектор.
Выберите операцию: Выберите нужное вычисление из выпадающего меню.
Установите точность: Выберите количество знаков после запятой в результатах.
Рассчитать: Нажмите кнопку, чтобы увидеть результаты с пошаговыми объяснениями.

Часто задаваемые вопросы

Что такое скалярное произведение?

Скалярное произведение двух векторов A и B — это скалярная величина, рассчитываемая путем умножения соответствующих компонентов и суммирования результатов: A·B = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Оно равно |A||B|cos(θ), где θ — угол между векторами. Скалярное произведение, равное нулю, означает, что векторы перпендикулярны.

Что такое векторное произведение?

Векторное произведение двух 3D-векторов A и B создает новый вектор, перпендикулярный обоим входным векторам. Оно рассчитывается по формуле A×B = (a₂b₃-a₃b₂, a₃b₁-a₁b₃, a₁b₂-a₂b₁). Модуль |A×B| равен площади параллелограмма, образованного A и B.

Как рассчитать модуль вектора?

Модуль вектора (длина) рассчитывается с использованием евклидовой нормы: |A| = √(a₁² + a₂² + a₃²) для 3D-вектора. Эта формула распространяется на любую размерность путем суммирования квадратов всех компонентов и извлечения квадратного корня.

Что такое единичный вектор?

Единичный вектор — это вектор с модулем 1, который указывает в том же направлении, что и исходный вектор. Он рассчитывается путем деления каждого компонента на модуль вектора: Â = A/|A|. Единичные векторы полезны для представления направлений без учета величины.

Как найти угол между двумя векторами?

Угол θ между векторами A и B находится с помощью формулы скалярного произведения: cos(θ) = (A·B)/(|A||B|). Возьмите арккосинус (arccos) этого значения, чтобы получить угол в радианах, затем при необходимости переведите в градусы, умножив на 180/π.

Что такое проекция вектора?

Проекция вектора A на вектор B дает компоненту A в направлении B. Формула: proj_B(A) = ((A·B)/(B·B)) × B. Скалярная проекция (компонента) равна (A·B)/|B|. Это полезно в физике для разложения сил и скоростей.

Области применения векторной математики

Физика: Представление сил, скоростей, ускорений, электрических и магнитных полей
Компьютерная графика: 3D-преобразования, расчет освещения, трассировка лучей
Инженерия: Структурный анализ, гидродинамика, робототехника
Машинное обучение: Векторы признаков, эмбеддинги слов, меры сходства
Разработка игр: Движение персонажей, обнаружение столкновений, симуляция физики
Навигация: GPS-вычисления, траектории полета, морские маршруты

Дополнительные ресурсы

Ссылайтесь на этот контент, страницу или инструмент так:

"Векторный калькулятор" на сайте https://ru.miniWebtool.com/векторный-калькулятор/ от MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

командой miniwebtool. Обновлено: 27 января 2026 г.

Вы также можете попробовать наш AI Решатель Математических Задач GPT, чтобы решить ваши математические проблемы с помощью вопросов и ответов на естественном языке.